View in EDS

Spectral properties of discrete models of multi-dimensional elliptic problems with mixed derivatives ; Спектральные свойства дискретных моделей многомерных эллиптических задач со смешанными производными

Saved in:
Bibliographic Details
Title: Spectral properties of discrete models of multi-dimensional elliptic problems with mixed derivatives ; Спектральные свойства дискретных моделей многомерных эллиптических задач со смешанными производными
Authors: A. U. Prakonina, Е. В. Проконина
Source: Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series; Том 55, № 2 (2019); 207-215 ; Известия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наук; Том 55, № 2 (2019); 207-215 ; 2524-2415 ; 1561-2430 ; 10.29235/1561-2430-2019-55-2
Publisher Information: The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"
Publication Year: 2019
Collection: Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Series of Physical-Mathematical Sciences / Известия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наук
Subject Terms: неполная LU-факторизация, elliptic equations, mixed derivatives, iterative bi-conjugate gradient methods, Fourier – Jacobi preconditioner, incomplete LU factorization, эллиптические уравнения, смешанные производные, итерационные методы би-сопряженных градиентов, переобусловливатель Фурье – Якоби
Description: The influence of the spectrum of original and preconditioned matrices on a convergence rate of iterative methods for solving systems of finite-difference equations applicable to two-dimensional elliptic equations with mixed derivatives is investigated. It is shown that the efficiency of the bi-conjugate gradient iterative methods for systems with asymmetric matrices significantly depends not only on the matrix spectrum boundaries, but also on the heterogeneity of the distribution of the spectrum components, as well as on the magnitude of the imaginary part of complex eigenvalues. For test matrices with a fixed condition number, three variants of the spectral distribution were studied and the dependences of the number of iterations on the dimension of matrices were estimated. It is shown that the non-uniformity in the eigenvalue distribution within the fixed spectrum boundaries leads to a significant increase in the number of iterations with increasing dimension of the matrices. The increasing imaginary part of the eigenvalues has a similar effect on the convergence rate. Using as an example the model potential distribution problem in a square domain, including anisotropic ring inhomogeneity, a comparative analysis of the matrix structure and the convergence rate of the bi-conjugate gradient method with Fourier – Jacobi and incomplete LU factorization preconditioners is performed. It is shown that the advantages of the Fourier – Jacobi preconditioner are associated with a more uniform distribution of the spectrum of the preconditioned matrix along the real axis and a better suppression of the imaginary part of the spectrum compared to the preconditioner based on the incomplete LU factorization. ; Исследовано влияния структуры спектров исходной и переобусловленной матриц разностных задач для двумерных эллиптических уравнений со смешанными производными на скорость сходимости итерационных методов решения систем соответствующих сеточных уравнений. Показано, что эффективность итерационных методов семейства ...
Document Type: article in journal/newspaper
File Description: application/pdf
Language: Russian
Relation: https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/388/358; Hestenes, M. R methods of conjugate gradients for solving linear systems / M. R. Hestenes, E. L. Stiefel // J. Res. Nat. Bur. Standards. – 1952. – Vol. 49, № 6. – P. 409–436. https://doi.org/10.6028/jres.049.044; Самарский, А. А. Разностные методы для эллиптических уравнений / А. А. Самарский, В. Б. Андреев. – М.: Наука, 1976. – 352 с.; Martynova, T. S. Numerical Solution of Boundary-Value Problems for Second-Order Elliptic Equations with Mixed Derivatives by Effective Iteration Methods / T. S Martynova // Mathematical Models and Computer Simulations. – 2009. – Vol. 1, № 3. – P. 370–382. https://doi.org/10.1134/s2070048209030041; Монотонные разностные схемы для уравнений со смешанными производными / А. А. Самарский [и др.] // Мат. моделирование. – 2001. – Т. 13, № 2.– С. 17–26.; 3D Finite-Difference BiCG Iterative Solver with the Fourier-Jacobi Preconditioner for the Anisotropic EIT/EEG Forward Problem / S. Turovets [et al.] // Comput. Math. Methods in Medicine. – 2014. – Vol. 2014. – P. 1–12. https://doi.org/10.1155/2014/426902; Волков, В. М. Разностные схемы и итерационные методы для многомерных эллиптических уравнений со смешанными производными / В. М. Волков, Е. В. Проконина // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2018. – Т. 54. № 4. – С. 454–459. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-454-459; Волков, В. М. Итерационная реализация разностных схем в методе фиктивных областей для эллиптических задач со смешанными производными / В. М. Волков, Е. В. Проконина // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2019. – №. 1. – С. 69–76.; Самарский, А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. – М.: Наука, 1978. – 592 c.; Хейгеман, Л. Прикладные итерационные методы: пер. с англ. / Л. Хейгеман, Д. Янг. – М.: Мир, 1986. – 448 с.; Saad, Y. Iterative solution of linear systems in the 20 th century / Y. Saad, H. A. van der Vorst // J. Comput. Appl. Math. – 2000. – Vol. 123, № 1/2. – P. 1–33. https://doi.org/10.1016/s0377-0427(00)00412-x; Templates for the solution of linear systems: building blocks for iterative methods / R. Barrett [et al.]. – SIAM, 1994. https://doi.org/10.1137/1.9781611971538; Самарский, A. A. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 432 c.; https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/388
DOI: 10.29235/1561-2430-2019-55-2-207-215
Availability: https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/388
https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-207-215
Rights: Authors who publish with this journal agree to the following terms:Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access). ; Авторы, публикующие в данном журнале, соглашаются со следующим:Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным сохранением ссылок на авторов оригинальной работы и оригинальную публикацию в этом журнале.Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договорённости, касающиеся не-эксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге), со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.Авторы имеют право размещать их работу в сети Интернет (например в институтском хранилище или персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу (См. The Effect of Open Access).
Accession Number: edsbas.F737DA4
Database: BASE
Description
Abstract:The influence of the spectrum of original and preconditioned matrices on a convergence rate of iterative methods for solving systems of finite-difference equations applicable to two-dimensional elliptic equations with mixed derivatives is investigated. It is shown that the efficiency of the bi-conjugate gradient iterative methods for systems with asymmetric matrices significantly depends not only on the matrix spectrum boundaries, but also on the heterogeneity of the distribution of the spectrum components, as well as on the magnitude of the imaginary part of complex eigenvalues. For test matrices with a fixed condition number, three variants of the spectral distribution were studied and the dependences of the number of iterations on the dimension of matrices were estimated. It is shown that the non-uniformity in the eigenvalue distribution within the fixed spectrum boundaries leads to a significant increase in the number of iterations with increasing dimension of the matrices. The increasing imaginary part of the eigenvalues has a similar effect on the convergence rate. Using as an example the model potential distribution problem in a square domain, including anisotropic ring inhomogeneity, a comparative analysis of the matrix structure and the convergence rate of the bi-conjugate gradient method with Fourier – Jacobi and incomplete LU factorization preconditioners is performed. It is shown that the advantages of the Fourier – Jacobi preconditioner are associated with a more uniform distribution of the spectrum of the preconditioned matrix along the real axis and a better suppression of the imaginary part of the spectrum compared to the preconditioner based on the incomplete LU factorization. ; Исследовано влияния структуры спектров исходной и переобусловленной матриц разностных задач для двумерных эллиптических уравнений со смешанными производными на скорость сходимости итерационных методов решения систем соответствующих сеточных уравнений. Показано, что эффективность итерационных методов семейства ...
DOI:10.29235/1561-2430-2019-55-2-207-215