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Jacobiformen und Thetareihen. (Jacobi forms and theta series)

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Název: Jacobiformen und Thetareihen. (Jacobi forms and theta series)
Autoři: Kramer, Jürg
Informace o vydavateli: Springer, Berlin/Heidelberg
Témata: theta series, Hecke operators, Analytic theory (Epstein zeta functions, relations with automorphic forms and functions), dimension formulas, Jacobi forms, quaternary quadratic forms, linear independence, Theta series, Weil representation, theta correspondences, modular forms, spaces of Jacobi forms
Popis: Die zu besprechende Arbeit setzt die Untersuchungen von \textit{M. Eichler} und \textit{D. Zagier} [The theory of Jacobi forms (Prog. Math. 55) (1985; Zbl 0554.10018)] über Jacobiformen fort. In Teil I wird eine (über Differentialoperatoren definierte) injektive Abbildung \(J_{k,m}(\Gamma) \to \oplus^{m}_{\nu =0}M_{k+2\nu}(\Gamma)\) studiert \((J_{k,m} =\) Raum der Jacobiformen vom Gewicht k und Index m, \(M_{k,\ell} =\) Raum der Modulformen vom Gewicht \(\ell).\) Es wird ein lineares Gleichungssystem angegeben, dem ein \((m+1)\)-Tupel aus \(\oplus^{m}_{\nu =0}M_{k+2\nu}(\Gamma)\) genügen muß, um im Bild obiger Abbildung zu liegen. Aus dieser Untersuchung zieht der Verf. interessante Konsequenzen: Zum einen ergeben sich Aussagen über die Erzeugbarkeit von \(J_{k,m}(\Gamma)\) durch Jacobiformen mit rationalen bzw. ganzrationalen Fourierkoeffizienten. Zum anderen erhält man schöne Dimensionsformeln wie \(\dim J_{k,m}(\Gamma_ 0(q))=\dim M_{2k-2}(\Gamma_ 0(q))\) für ungerade Primzahlen q. Wichtige Beispiele für Jacobiformen sind bekanntlich die Jacobi- Thetareihen. In Teil II seiner Arbeit behandelt der Verf. den Fall der Jacobi-Thetareihen zu quaternären positiv definiten quadratischen Formen der Diskriminante \(q^ 2\), welche die 2 ganzzahlig darstellen. Diese Reihen spannen einen interessanten (im allgemeinen echten) Teilraum von \(J_{2,1}(\Gamma_ 0(q))\) auf. Es wird gezeigt, daß dieser Teilraum unter Heckeoperatoren invariant bleibt, und es wird ein (hinreichendes) Kriterium für die lineare Unabhängigkeit dieser Jacobi-Thetareihen bewiesen.
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Popis souboru: application/xml
DOI: 10.1007/bf01171338
Přístupová URL adresa: https://zbmath.org/3943920
Přístupové číslo: edsair.c2b0b933574d..384dfb70534c3af86950b6bc404d7be3
Databáze: OpenAIRE
Popis
Abstrakt:Die zu besprechende Arbeit setzt die Untersuchungen von \textit{M. Eichler} und \textit{D. Zagier} [The theory of Jacobi forms (Prog. Math. 55) (1985; Zbl 0554.10018)] über Jacobiformen fort. In Teil I wird eine (über Differentialoperatoren definierte) injektive Abbildung \(J_{k,m}(\Gamma) \to \oplus^{m}_{\nu =0}M_{k+2\nu}(\Gamma)\) studiert \((J_{k,m} =\) Raum der Jacobiformen vom Gewicht k und Index m, \(M_{k,\ell} =\) Raum der Modulformen vom Gewicht \(\ell).\) Es wird ein lineares Gleichungssystem angegeben, dem ein \((m+1)\)-Tupel aus \(\oplus^{m}_{\nu =0}M_{k+2\nu}(\Gamma)\) genügen muß, um im Bild obiger Abbildung zu liegen. Aus dieser Untersuchung zieht der Verf. interessante Konsequenzen: Zum einen ergeben sich Aussagen über die Erzeugbarkeit von \(J_{k,m}(\Gamma)\) durch Jacobiformen mit rationalen bzw. ganzrationalen Fourierkoeffizienten. Zum anderen erhält man schöne Dimensionsformeln wie \(\dim J_{k,m}(\Gamma_ 0(q))=\dim M_{2k-2}(\Gamma_ 0(q))\) für ungerade Primzahlen q. Wichtige Beispiele für Jacobiformen sind bekanntlich die Jacobi- Thetareihen. In Teil II seiner Arbeit behandelt der Verf. den Fall der Jacobi-Thetareihen zu quaternären positiv definiten quadratischen Formen der Diskriminante \(q^ 2\), welche die 2 ganzzahlig darstellen. Diese Reihen spannen einen interessanten (im allgemeinen echten) Teilraum von \(J_{2,1}(\Gamma_ 0(q))\) auf. Es wird gezeigt, daß dieser Teilraum unter Heckeoperatoren invariant bleibt, und es wird ein (hinreichendes) Kriterium für die lineare Unabhängigkeit dieser Jacobi-Thetareihen bewiesen.
DOI:10.1007/bf01171338