Asymptotic convergence analysis of the projection approximation subspace tracking algorithms - Yang, Bin (Signal processing, 1996)
Subspace tracking plays an important role in a variety of adaptive subspace methods. In this paper, we present a theoretical convergence analysis of two recently proposed projection approximation subspace tracking algorithms (PAST and PASTd). By invoking Ljung's ordinary differential equation approach, we derive a pair of coupled matrix differential equations, whose trajectories describe the asymptotic convergence behavior of the subspace tracking algorithms. We discuss properties of the matrix differential equations and determine their asymptotically stable equilibrium states and domain of attraction. It turns out that, under weak conditions, both PAST and PASTd globally converge to the desired signal subspace or signal eigenvectors and eigenvalues with probability one. Numerical examples are also included to illustrate the asymptotic convergence rate of the algorithms. Adaptive Unterraumberechnung spielt eine wichtige Rolle in einer Vielzahl adaptiver Unterraummethoden. Wir stellen in diesem Beitrag eine theoretische Konvergenzanalyse zweier kürzlich entwickelten, auf einer Projektionsapproximation basierenden Algorithmen (PAST and PASTd) zur adaptiven Unterraumberechnung vor. Unter Verwendung von Ljung's Differentialgleichungsansatz leiten wir ein Paar gekoppeiter Matrixdifferentialgleichungen her, deren Trajektorien das asymptotische Konvergenzverhalten der adaptiven Algorithmen beschreibem Wir diskutieren die Eigenschaften der Matrixdifferentialgleichungen und bestimmen ihre asymptotisch stabile Gleichgewichtszustände sowie die entsprechenden Einzugsbereiche. Es zeigt sich, daß sowohl PAST als auch PASTd under schwachen Bedingungen mit Wahrscheinlichkeit Eins global gegen den gesuchten Signalunterraum bzw. Signaleigenvektoren und Eigenwerte konvergieren. Außerdem zeigen wir Rechnersimulationen, die die asymptotische Konvergenrate der Algorithmen veranschaulichen. La poursuite des sous-espaces joue un rôle important dans un grand nombre de méthodes de type sous-espace adaptatives. Nous présentons dans cet article une analyse théorique de la convergence de deux algorithmes de poursuite de sous-espace par approximation de la projection récemment proposés (PAST et PASTd). A l'aide de l'approche de Ljung par équations différentielles ordinaires, nous dérivons une paire d'equations différentielles matricielles couplées, dont les trajectoires décrivent le comportement de convergence asymptotique des algorithmes de poursuite du sous-espace. Nous discutons les propriétés des équations différentielles matricielles et déterminons leurs états d'équilibre asymptotique et leur domaine d'attraction. Il apparaît que, sous des conditions faibles, PAST et PASTd convergent tous deux globalement vers le sous-espace ou les vecteurs propres et valeurs propres de signal désirés avec une probabilité un. Des exemples numériques sont également inclus afin d'illustrer le taux de convergence asymptotique des algorithmes.