Decoding by linear programming

This paper considers a natural error correcting problem with real valued input/output. We wish to recover an input vector f/spl isin/R/sup n/ from corrupted measurements y=Af+e. Here, A is an m by n (coding) matrix and e is an arbitrary and unknown vector of errors. Is it possible to recover f exact...

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Vydané v:	IEEE transactions on information theory Ročník 51; číslo 12; s. 4203 - 4215
Hlavní autori:	Candes, E.J., Tao, T.
Médium:	Journal Article
Jazyk:	English
Vydavateľské údaje:	New York, NY IEEE 01.12.2005 Institute of Electrical and Electronics Engineers The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc. (IEEE)
Predmet:	Applied sciences Basis pursuit Codes Coding Coding, codes Communications networks Decoding decoding of (random) linear codes Detection, estimation, filtering, equalization, prediction duality in optimization Equations Error correction Error correction codes Errors Exact sciences and technology Gaussian random matrices Information systems Information theory Information, signal and communications theory Linear code linear codes Linear programming Mathematical analysis Mathematics principal angles restricted orthonormality Signal and communications theory Signal, noise singular values of random matrices Sparse matrices sparse solutions to underdetermined systems Telecommunications and information theory Vectors Vectors (mathematics) Singularity linear codes Uncertainty principle Gaussian random matrices Linear programming Decoding Random coding Random codes Convex programming 1 minimization sparse solutions to underdetermined systems Optimization Linear code restricted orthonormality Linear system singular values of random matrices principal angles Signal processing Signal reconstruction duality in optimization Error correction Index Terms-Basis pursuit decoding of (random) linear codes
ISSN:	0018-9448, 1557-9654
On-line prístup:	Získať plný text
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Abstract	This paper considers a natural error correcting problem with real valued input/output. We wish to recover an input vector f/spl isin/R/sup n/ from corrupted measurements y=Af+e. Here, A is an m by n (coding) matrix and e is an arbitrary and unknown vector of errors. Is it possible to recover f exactly from the data y? We prove that under suitable conditions on the coding matrix A, the input f is the unique solution to the /spl lscr//sub 1/-minimization problem (/spl par/x/spl par//sub /spl lscr/1/:=/spl Sigma//sub i/\|x/sub i/\|) min(g/spl isin/R/sup n/) /spl par/y - Ag/spl par//sub /spl lscr/1/ provided that the support of the vector of errors is not too large, /spl par/e/spl par//sub /spl lscr/0/:=\|{i:e/sub i/ /spl ne/ 0}\|/spl les//spl rho//spl middot/m for some /spl rho/>0. In short, f can be recovered exactly by solving a simple convex optimization problem (which one can recast as a linear program). In addition, numerical experiments suggest that this recovery procedure works unreasonably well; f is recovered exactly even in situations where a significant fraction of the output is corrupted. This work is related to the problem of finding sparse solutions to vastly underdetermined systems of linear equations. There are also significant connections with the problem of recovering signals from highly incomplete measurements. In fact, the results introduced in this paper improve on our earlier work. Finally, underlying the success of /spl lscr//sub 1/ is a crucial property we call the uniform uncertainty principle that we shall describe in detail.
AbstractList	This paper considers a natural error correcting problem with real valued input/output. We wish to recover an input vector f[isin]R super(n) from corrupted measurements y=Af+e. Here, A is an m by n (coding) matrix and e is an arbitrary and unknown vector of errors. Is it possible to recover f exactly from the data y? We prove that under suitable conditions on the coding matrix A, the input f is the unique solution to the [ell] sub(1)-minimization problem ( This paper considers a natural error correcting problem with real valued input/output. We wish to recover an input vector f/spl isin/R/sup n/ from corrupted measurements y=Af e. Here, A is an m by n (coding) matrix and e is an arbitrary and unknown vector of errors. Is it possible to recover f exactly from the data y? We prove that under suitable conditions on the coding matrix A, the input f is the unique solution to the /spl lscr//sub 1/-minimization problem (/spl par/x/spl par//sub /spl lscr/1/:=/spl Sigma//sub i/\|x/sub i/\|) min(g/spl isin/R/sup n/) /spl par/y - Ag/spl par//sub /spl lscr/1/ provided that the support of the vector of errors is not too large, /spl par/e/spl par//sub /spl lscr/0/:=\|{i:e/sub i/ /spl ne/ 0}\|/spl les/rho.m for some /spl rho/ > 0. In short, f can be recovered exactly by solving a simple convex optimization problem (which one can recast as a linear program). In addition, numerical experiments suggest that this recovery procedure works unreasonably well; f is recovered exactly even in situations where a significant fraction of the output is corrupted. This work is related to the problem of finding sparse solutions to vastly underdetermined systems of linear equations. There are also significant connections with the problem of recovering signals from highly incomplete measurements. In fact, the results introduced in this paper improve on our earlier work. Finally, underlying the success of /spl lscr//sub 1/ is a crucial property we call the uniform uncertainty principle that we shall describe in detail. This paper considers a natural error correcting problem with real valued input/output. We wish to recover an input vector f in mmb R n from corrupted measurements y = A f + e. Here, A is an m by n (coding) matrix and e is an arbitrary and unknown vector of errors. Is it possible to recover f exactly from the data y. We prove that under suitable conditions on the coding matrix A, the input f is the unique solution to the ell 1 -minimization problem (Vert xVert ell 1 := sum _i vert x ivert) min g in mmb R n, Vert y Ag Vert ell 1 provided that the support of the vector of errors is not too large, Vert eVert ell 0 := vert i : e i ne 0vert leq rho cdot m for some rho 0. In short, f can be recovered exactly by solving a simple convex optimization problem (which one can recast as a linear program). In addition, numerical experiments suggest that this recovery procedure works unreasonably well; f is recovered exactly even in situations where a significant fraction of the output is corrupted. This work is related to the problem of finding sparse solutions to vastly underdetermined systems of linear equations. There are also significant connections with the problem of recovering signals from highly incomplete measurements. In fact, the results introduced in this paper improve on our earlier work. Finally, underlying the success of ell 1 is a crucial property we call the uniform uncertainty principle that we shall describe in detail.[PUBLICATION ABSTRACT] This paper considers a natural error correcting problem with real valued input/output. We wish to recover an input vector f/spl isin/R/sup n/ from corrupted measurements y=Af+e. Here, A is an m by n (coding) matrix and e is an arbitrary and unknown vector of errors. Is it possible to recover f exactly from the data y? We prove that under suitable conditions on the coding matrix A, the input f is the unique solution to the /spl lscr//sub 1/-minimization problem (/spl par/x/spl par//sub /spl lscr/1/:=/spl Sigma//sub i/\|x/sub i/\|) min(g/spl isin/R/sup n/) /spl par/y - Ag/spl par//sub /spl lscr/1/ provided that the support of the vector of errors is not too large, /spl par/e/spl par//sub /spl lscr/0/:=\|{i:e/sub i/ /spl ne/ 0}\|/spl les//spl rho//spl middot/m for some /spl rho/>0. In short, f can be recovered exactly by solving a simple convex optimization problem (which one can recast as a linear program). In addition, numerical experiments suggest that this recovery procedure works unreasonably well; f is recovered exactly even in situations where a significant fraction of the output is corrupted. This work is related to the problem of finding sparse solutions to vastly underdetermined systems of linear equations. There are also significant connections with the problem of recovering signals from highly incomplete measurements. In fact, the results introduced in this paper improve on our earlier work. Finally, underlying the success of /spl lscr//sub 1/ is a crucial property we call the uniform uncertainty principle that we shall describe in detail.
Author	Candes, E.J. Tao, T.
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SubjectTerms	Applied sciences Basis pursuit Codes Coding Coding, codes Communications networks Decoding decoding of (random) linear codes Detection, estimation, filtering, equalization, prediction duality in optimization Equations Error correction Error correction codes Errors Exact sciences and technology Gaussian random matrices Information systems Information theory Information, signal and communications theory Linear code linear codes Linear programming Mathematical analysis Mathematics principal angles restricted orthonormality Signal and communications theory Signal, noise singular values of random matrices Sparse matrices sparse solutions to underdetermined systems Telecommunications and information theory Vectors Vectors (mathematics)
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