Principal eigenvalues and eigenfunctions for fully nonlinear equations in punctured balls

This paper is devoted to the proof of the existence of the principal eigenvalue and related eigenfunctions for fully nonlinear uniformly elliptic equations posed in a punctured ball, in presence of a singular potential. More precisely, we analyze existence, uniqueness and regularity of solutions (λ¯...

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Published in:Journal de mathématiques pures et appliquées Vol. 186; pp. 74 - 102
Main Authors: Birindelli, Isabeau, Demengel, Françoise, Leoni, Fabiana
Format: Journal Article
Language:English
Published: Elsevier Masson SAS 01.06.2024
Elsevier
Subjects:
Analysis of PDEs
Fully nonlinear elliptic equations
Mathematics
Principal eigenvalues
Regularity of eigenfunctions
Singular potential
35J75
Fully nonlinear elliptic equations
35J60
35P15
Regularity of eigenfunctions
35P30
Singular potential
Principal eigenvalues
singular potential
regularity of eigenfunctions
principal eigenvalues
ISSN:0021-7824
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Description
Summary:This paper is devoted to the proof of the existence of the principal eigenvalue and related eigenfunctions for fully nonlinear uniformly elliptic equations posed in a punctured ball, in presence of a singular potential. More precisely, we analyze existence, uniqueness and regularity of solutions (λ¯γ,uγ) of the equationF(D2uγ)+λ¯γuγrγ=0inB(0,1)∖{0},uγ=0on∂B(0,1) where uγ>0 in B(0,1)∖{0} and γ>0. We prove existence of radial solutions which are continuous on B(0,1)‾ in the case γ<2, existence of unbounded solutions in the case γ=2 and a non existence result for γ>2. We also give, in the case of Pucci's operators, the explicit value of λ¯2, which generalizes the Hardy–Sobolev constant for the Laplacian. Dans cet article nous nous intéressons à l'existence de valeur propre principale et de fonctions propres associées pour des opérateurs complètement non linéaires dans un domaine épointé, en présence d'un potentiel singulier. Plus pécisément, nous analysons l'existence, l'unicité et la régularité de solutions de l'équationF(D2uγ)+λ¯γuγrγ=0dansB(0,1)∖{0},uγ=0sur∂B(0,1) où uγ>0 est définie sur B(0,1)∖{0} et γ>0. Nous montrons l'existence de solutions radiales qui sont continues sur B(0,1)‾ dans le cas γ<2, l' existence de solutions non bornées dans le cas γ=2 et un résultat de non existence dans le cas γ>2. Nous donnons aussi, dans le cas des opérateurs de Pucci, la valeur explicite de λ¯2, ce qui généralise la constante de Hardy–Sobolev dans le cas du Laplacien.
ISSN:0021-7824
DOI:10.1016/j.matpur.2024.04.004