Principally ss-Supplemented Modules - Alwan, Ahmed H. (Majallat Baghdād lil-ʻulūm, 2024)
في هذا البحث، قدمنا ودرسنا مفاهيم المقاسات التكميلية الرئيسية من النمط-ss مع مقاسات الرفع من النمط-ss. هذان المفهومان هي تعميمات طبيعية للمقاسات التكميلية من النمط-ss مع مقاسات الرفع من النمط-ss. تم برهان العديد من خصائص هذه المقاسات. هنا تم التركيز على مقاسات الرفع من النمط-ss. تم الحصول على صفات جديدة للمقاسات التكميلية من النمط-ss باستخدام مقاسات الرفع من النمط-ss. هنا, عرفت مقاسات تكميلية رئيسية من نمط-ss ضعيفة. تم برهان المقاس T مقاس تكميلي رئيسي ضعيف من نمط- ssاذا وفقط اذا كان هومقاس تكميلي رئيسي من نمط- .ss واحدة من النتائج الأساسية تنص كل مقاس محلي بقوة هو تكميلي رئيسي من نمط-.ss  تم اثبات اذا كان T مقاس مجوف, فأن T تكميلي رئيسي من نمط-ss اذا وفقط اذا كان محلي بقوة. اذا كان اذا كان Rad(T) صغير في T فان تكميلي رئيسي من نمط-ss  اذا وفقط اذا T تكميلي رئيسي و  Rad(T) ⊆ Soc(T)بالاضافة, اذا T=T_1⨁T_2  مع  T_1 و T_2مقاسان تكميليين رئيسيان من نمط-ss وT هي ديو, فأن T تكميلي رئيسي من نمط- .ss كذلك اثبت ذلك, أذا كانت T غير قابل للتحلل, فأن T رفع رئيسي من نمط-ss أذا وفقط أذا كان T مقاس مجوف رئيسي كذلك أذا كانت T مقاس مجوف رئيسي فأن T تكميلي رئيسي من نمطصغير في T فان تكميلي رئيسي من نمط-ss  اذا وفقط اذا T تكميلي رئيسي و Rad(T) ⊆ Soc(T) بالاضافة, اذا T=T_1⨁T_2  مع  T_1 و T_2مقاسان تكميليين رئيسيان من نمط-ss وT هي ديو, فأن T تكميلي رئيسي من نمط- .ss كذلك اثبت ذلك, أذا كانت T غير قابل للتحلل, فأن T رفع رئيسي من نمط-ss أذا وفقط أذا كان T مقاس مجوف رئيسي كذلك أذا كانت T مقاس مجوف رئيسي فأن T تكميلي رئيسي من نمط-ss . في هذا العمل, اثبتت النتائج التالية: أذا كانت T مقاس مع خاصية (ss -PD_1), فأن كل مقاس جزئي دوار غير قابل للتحلل في T هو اما صغيرفي T أو مجموع الى T. كذلك, أذا كانت T مقاس على حلقة محلية R و تمتلك خاصية (ss -PD_1), فأن كل مقاس جزئي دوار في T هو اما صغيرفي T أو مجموع الى T. In this paper, we introduce and study the concepts of principally ss-supplemented and principally ss-lifting modules. These two concepts are natural generalizations of the concepts of ss-supplemented and ss-lifting modules. Several properties of these modules are proven. Here, principally ss-lifting modules are focused on. New characterizations of principally ss-supplemented modules are made using principally ss-lifting modules. Here, weakly principally ss-supplemented is defined. It is proved that   a module T is weakly principally ss-supplemented module if and only if it is principally ss-supplemented. One of the first results states that every strongly local module is principally ss-supplemented. It is shown that if T be a hollow module, then T is principally ss-supplemented if and only if it is strongly local. If Rad(T) small in T, then T is principally ss-supplemented if and only if T is principally supplemented and Rad(T)⊆Soc(T). Moreover, if T=T_1⨁T_2 with T_1 and T_2 principally ss-supplemented modules and T is a duo, then T is principally ss-supplemented. It is also shown that, if T is indecomposable, then T is principally ss-lifting if and only if T is a principally hollow module besides if T is a principally hollow module then T is principally ss-supplemented.  In this work, the following results are proved: if T be a module with the property (ss -PD_1), then every indecomposable cyclic submodule of T is either small in T or a summand of T. Also, if T is a module over a local ring R and T has the property (ss-PD_1), then every cyclic submodule of T is either small in T, or a summand of T.